Компьютерное дополнение к курсу Информатика 5. 2017

Урок 14. «Площадь многоугольника»

Мы уже говорили, что многоугольники на сетке можно рассматривать как дискретную структуру: дискретной в этом случае является площадь, так как она принимает только целые и половинные значения.

Нам необходимо, чтобы дети с самого начала поняли, что многоугольник у нас – это не просто замкнутая ломаная линия, а часть плоскости. Поэтому мы всегда закрашиваем многоугольники: цвет играет роль выделения этой части плоскости. При этом то, каким именно цветом раскрашен многоугольник, для нас не очень важно, поэтому мы договариваемся не сравнивать многоугольник по цвету и обычно внутри одной задачи раскрашиваем все многоугольники в один цвет.

Единицы площади, которые мы используем – единичные квадраты на сетке. Вспомните, что мы нигде не договаривались о фиксированном размере шага сетки, поэтому вообще говоря сетку можно нарисовать любой – и очень мелкой, и очень крупной. На решение задач это не влияет. Поэтому и единица измерения площади фигур на сетке не может быть какой-то фиксированной метрической единицей (квадратным метром), а должна быть привязана к самой сетке.

Ограничение многоугольниками на сетке фигур на сетке позволяют нам уже сейчас находить площади достаточно сложных фигур (трапеции, произвольного треугольника, параллелограмма и др.), что позволит подготовить ребят к обобщению этого материала в курсе геометрии 8 класса.

На листе определений «Площадь многоугольника» все приведенные многоугольники состоят только из целого числа единичных квадратов, то есть площадь каждого из них находится путем пересчета единичных квадратов, содержащихся в нем. Дальше мы обсудим площадь прямоугольного треугольника на сетке и затем научимся вычислять площадь любого многоугольника на сетке. 

Задача 75. На листе определений мы не вводим буквенного обозначения площади, поэтому ответы во всех задачах предполагаются словесные. Площадь верхних фигур ребята могут найти путем непосредственного пересчета содержащихся в них единичных квадратов. Три нижние фигуры – прямоугольники. Их площадь можно найти и умножением. Например, рассмотрим прямоугольник L. Он состоит из двух рядов клеток по 3 клетки в каждом, значит, его площадь можно найти, умножив 3 на 2. Таким образом, можно сопоставить материал данной темы с теми знаниями, которые ребята получают на уроках математики.

Ответ: площадь многоугольника G равна 3 ед. кв.

Площадь многоугольника Н равна 4 ед. кв.

Площадь многоугольников J и I равна 5 ед. кв.

Площадь многоугольника L равна 6 ед. кв.

Площадь многоугольника M равна 8 ед. кв.

Площадь многоугольника N равна 10 ед. кв.

Задача 76. В пункте а) есть два возможных решения: один прямоугольник равен прямоугольнику L из задачи 75, а другой – размером 6´1 клетку. Пункты б) и в) задачи имеют ровно по 1 решению.

Задача 77. В задаче необходимо построить объект по таблице истинности, где есть как истинные, так и ложные утверждения. Для решения этой задачи пригодится умение переформулировать утверждения – например, ложное утверждение заменить истинным или сказать то же иначе.

Ложность утверждения А означает то, что в искомом множестве четные числа есть, но могут быть и нечетные числа.

Истинность утверждения В означает, что все числа в искомом множестве двузначные.

Истинность утверждения С означает, что все числа в искомом множестве кратны 11. Истинность утверждения Е означает, что всего в искомом множестве 5 чисел. Значит, это какие-то 5 чисел из такого множества: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Ложность утверждения D означает, что в искомом множестве нет чисел, кратных 3 – значит, числа 33, 66 и 99 не подходят.

Итак, нужно найти 5 двузначных чисел, делящихся на 11 и не делящихся на 3, среди которых есть хотя бы одно четное. Подходящих чисел шесть: 11, 22, 44, 55, 77, 88 и любые 5 из них содержат четное число. Поэтому возможных множеств-ответов здесь имеется ровно 6: каждое из них получается откидываем одного из шести чисел.

Задача 78. Необязательная. Для решения этой задачи нужно вспомнить, что пустое множество является подмножеством любого множества. Поскольку бусины у нас бывают только трех форм, то в искомом подмножестве нет ни одной бусины.

Задача 79. Данный в задаче многоугольник – фигура сложной и интересной формы. Конечно, его площадь можно найти непосредственным пересчетом, но это долго и велика вероятность допустить ошибку, даже если пронумеровать все зеленые клетки. Интересней использовать особенности многоугольника и найти решение более рациональным способом. Верхняя часть многоугольника состоит из четырех одинаковых частей, площадь каждого из которых равна 10 ед. кв. Нижняя часть многоугольника также состоят из 4 одинаковых частей по 10 ед. кв. Добавив часть, которая соединяет верхнюю и нижнюю части (7 ед. кв.), получаем площадь данного многоугольника.

Отметим, что выделение повторяющихся участков в объекте – пропедевтика алгоритмической конструкции повторения. На примере данной задачи важно показать детям, что выделение повторяющихся частей позволяет существенно упростить работу и сэкономить время.

Ответ: площадь многоугольника равна 87 ед. кв.

Задача 80. Четыре одинаковые последовательности – это последовательности Е, З, И, К. Найти четыре разные последовательности среди данных оказывается не так уж легко. Поскольку здесь много пар одинаковых последовательностей, в этой задаче могут допустить ошибку те ребята, которые недостаточно хорошо усвоили понятие все разные. Все данные последовательности можно разделить на 4 группы, в каждой из которых все последовательности одинаковые. Поэтому все возможные четверки для ответа будут одинаковыми:

–       последовательность А (или Г или Б),

–       последовательность В (или Д или М),

–       последовательность Е (или З или И или К),

–       последовательность Ж (или Л или Н).

Задача 81. Как видите, эта задача перекликается с задачей 72, но, будучи внешне на нее похожей, имеет существенные отличия. Это очень хороший повод для интересного обсуждения, к которому лучше подготовиться заранее. Дело в том, что истинность утверждений в этих задачах определяется для разных объектов: в задаче 72 – для календарного процесса чередования дней недели, а в задаче 81 – для конкретной заданной конечной последовательности М дней недели. Действительно, дни недели идут всегда в строго определенном календарном порядке, при этом их чередование нигде не нарушается и не прерывается. Поэтому, в частности, утверждения о днях недели всегда имеют смысл, а следующий день после каждой пятницы – суббота. Однако, если мы рассматриваем произвольную конечную последовательность дней недели, то после одной из пятниц может не стоять ничего, если это последнее слово последовательности. И тогда рассматриваемое утверждение оказывается бессмысленным для этой последовательности.

Задача 72 – это один из примеров применения изученной лексики (перед каждой, после каждой) к объектам окружающего мира. Задача же 81 – типичная учебная задача, целиком находящаяся в рамках курса.

Ответ: утверждения Т и Y не имеют смысла, утверждения W и Z истинны, утверждения V и U ложны для последовательности М.

Задача 82. Это первая задача, где требуется найти площадь фигуры, которая состоит не только из полных единичных квадратов, но и из их частей. Она дается в пропедевтических целях, чтобы заставить детей задуматься и понять существо дела перед тем, как эта тема будет обсуждена на следующем уроке.

Скорее всего, все возможные варианты сведутся к решениям двух видов:

– заметить, что треугольник В состоит из 1 ед. кв. и двух половинок единичного квадрата, которые вместе также дают 1 ед. кв.

– заметить, что треугольник В – это половина квадрата площади 4 ед. кв., значит площадь треугольника В равна 2 ед. кв.

Конечно, в этой задаче не стоит добиваться от детей полных и грамотных пояснений, здесь нам важно именно понимание на интуитивном уровне, а все объяснения у ребят еще впереди.