Компьютерное дополнение к курсу Информатика 5. 2017

Урок 7. «Истинные и ложные утверждения»

Понятие истинность – краеугольное внутриматематическое понятие, используемое в построении математических теорий и систематическом введении языков, используемых в этих построениях. Свойство истинности утверждений для объектов – центральное свойство, изучаемое математической логикой.

Мы считаем, что эта тема важная не только для курса информатики, но и для других школьных предметов и даже для дальнейшей жизни наших детей. Как видите, знакомство с истинными и ложными утверждениями начинается с простых и доступных примеров. Бывают ли в русском языке предложения, которые не являются утверждениями? Бывают, например: «Какая сегодня погода?» или «Приходи завтра». Это вопросительные или побудительные предложения. Мы, однако, не хотим сейчас фокусировать внимание ребенка на таких типах предложений.

Большинство заданий, которые выполняют дети в школе, изучая математику, языки и другие предметы, состоит в том, чтобы найти, построить объект, для которого истинно (т. е. выполняется, имеет место, верно) данное утверждение. Начиная работать с компьютером, учащиеся сразу же сталкиваются с понятием истинности утверждения при ответах на вопросы и при составлении простейших программ. И в повседневной жизни ребенок, начав говорить, почти сразу сталкивается с понятием истинности. Его ругают, если он говорит неправду, когда он еще не вполне уяснил, что это такое.

Таким образом, понятие истинность встречается повсеместно. Конечно, можно пытаться не вводить это понятие явно, а считать само собой разумеющимся, используя множество синонимов – верно, правильно, подходит и т. д. Но нам кажется, что с самых разных точек зрения предпочтительнее явное введение понятия и фиксация термина, в качестве которого мы берем выражение истинное утверждение.

Явное введение понятия истинность делает более четким понятие решения математической задачи, которую теперь можно считать решенной вне зависимости от качества написания букв, скорости выполнения задания, поведения ученика и др. Такое разделение нам кажется весьма желательным (в том числе и с социальной точки зрения – при воспитании молодых граждан, при усвоении ими их прав и обязанностей, законов, основ этики и т. д.). В наших терминах: мы фиксируем одно из основных правил игры.

Понятие ложное утверждение дети должны понимать как «не истинное». В обыденном языке в таких случаях говорится: неверное, неправильное, ошибочное и т. д. При построении объекта, для которого данное утверждение ложно, дети сталкиваются с необходимостью построения отрицания. Поскольку это довольно сложно, такие задачи будут попадаться детям не слишком часто (в основном в качестве необязательных).

Понятие истинности и ложности важно для нас не только с научной (содержательной) точки зрения, но и с точки зрения построения курса и наших правил игры. Постепенно формулировки задач становятся более сложными и объемными. Это затрудняет решение и проверку. Теперь из формулировки задачи детям приходится вычленять отдельные, простые условия, чтобы построить верное решение или сопоставить решение с условием задачи. Ясно, этот процесс сам по себе чреват ошибками. Поэтому описание объекта в виде совокупности отдельных утверждений, которые должны быть истинными (или ложными), – это возможность сделать условия задач более понятными, освободившись от всевозможных неточностей, которые привносит русский язык, когда мы пытаемся все эти условия сформулировать в 1 – 2 предложениях. Проверить истинность (ложность) утверждений также можно достаточно формально, последовательно одно за другим. Таким образом, истинность и ложность утверждений – это важная часть наших правил игры.

Обращаем ваше внимание, что наряду с обычными в математике значениями утверждений истинно и ложно мы используем еще одно – неизвестно. Это значение важно не только с информатической, но и с образовательно-психологической точки зрения. Нам важно привлечь внимание ребенка и ваше к тому, что на некоторые вопросы ответ неизвестен. Конечно, эта неизвестность может быть вызвана самыми разными причинами – недостаточностью информации, трудностью вопроса и пр. Все эти причины мы пока что помещаем в одну область – неизвестно. В дальнейшем, однако, дети сами заинтересуются разными видами неизвестности, и это может послужить материалом для интересной дискуссии. В контексте теоретической информатики значение неизвестно часто возникает, как это бывает и в жизни, когда ответ еще не получен, его поиск не закончен (а может быть, и не будет закончен никогда).

Отметим, что часто значение утверждения неизвестно, истинно или ложно бывает субъективным. Ситуация неизвестности часто связана с недостатком информации, причем кто-то этой информацией обладает, а кто-то нет. Безусловно, кто-то (например, авторы данной задачи) обладает информацией о том, как нарисована последовательность на листе определений и чему равен диаметр круглой бусины. Но детям эта информация, скорее всего, неизвестна. Кто-то из детей вообще может быть незнаком с понятием диаметр. Это не страшно, ведь в таком случае оценить истинность этого утверждения не представляется возможным и ответ «я не знаю» (соответствующий значению «неизвестно») является самым естественным. 

Задача 45. В этой задаче впервые детям для решения понадобятся заготовки из вкладыша тетради проектов. Лучше заранее решить, как вы будете в течение года работать с тетрадью проектов, чтобы ребятам не приходилось носить ее на каждый урок. Один из вариантов – хранить все тетради проектов в кабинете, поскольку дома они ребятам будут нужны очень редко. Другой вариант – вынуть в начале года из тетрадей все заготовки для задач из учебника, а заодно и тексты контрольных работ.

Ответ:

Задача 46. В этой задаче ребятам впервые предстоит строить объект по описанию, данному в форме утверждения. В случае ложности утверждения К у кого-то из ребят могут возникнуть сложности. В таких случаях полезно придумывать утверждение, истинное в тех случаях, когда ложно заданное утверждение – другими словами, явно формулировать отрицание заданного утверждения. Например, ложность утверждения К означает, что в искомом множестве есть треугольники. Чтобы в решениях ребят проще было разобраться, попросите их подписать каждое из множеств, например, так: «Утверждение К истинно» и «Утверждение К ложно».

Задача 47. Ответ: истинные утверждения: L, M, O, Q. Ложные утверждения: K, N, P.

Задача 48. Понятие подмножество. На данный момент дети должны понимать, что каждый элемент подмножества есть в исходном множестве (а не наоборот!), что равные множества являются подмножествами друг друга, что множество с большим число элементов не может быть подмножеством для множества с меньшим числом элементов и т. п. Если вы видите, что кто-то из ребят допускает ошибки в решении, посоветуйте ему вернуться к соответствующему листу определений.

Ответ: истинные утверждения: V, U, X, Y. Ложные утверждения: T, W, Z.

Задача 49. После того как ребята познакомились в нашем курсе с понятием последовательность, появилась возможность использовать в задачах два новых вида объектов – слова (последовательности букв) и натуральные числа (последовательности цифр). Поскольку натуральные числа детям хорошо знакомы, мы можем задать множество описанием, как в данной задаче. Вся терминология, используемая в утверждениях, должна быть ребятам очень хорошо знакома из курса математики.

Ответ: истинные утверждения: У1, У5. Ложные утверждения: У2, У3, У4, У6.

Задача 50. Здесь требуется построить сразу два объекта по описанию. Проще построить множество В, поскольку последнее утверждение задает его однозначно – множество В состоит из одной синей треугольной бусины. В множестве А тоже должен быть ровно 1 элемент и этот элемент – не красная круглая бусина. Значит, чтобы подмножества были разными, в множестве В должна быть желтая квадратная бусина.

Ответ:

Задача 51. Правильных ответов здесь довольно много: подойдет любая последовательность из пяти треугольных бусин такая, чтобы все бусины в ней были разного цвета.

Задача 52. Необязательная. Одна из основных задач нашего курса – научить ребят пользоваться различными источниками информации. Главным источником информации для решения задач курса является, конечно, учебник. Но очень полезно время от времени обращаться вместе с ребятами к информационным источникам, которые встречаются в жизни, то есть, по сути, решать практические информационные задачи, используя «настоящие» источники информации. Чаще других в нашем курсе мы будем использовать информационные источники двух видов: текстовые и графические. К первому виду относятся, многие словари, справочники, книги и прочее – в них информация представлена в основном текстом. Ко второму виду можно отнести фотографии, рисунки, схемы, знаки дорожного движения – все источники, где информация закодирована в основном при помощи рисунков и знаков. Очень часто источник содержит информацию смешанного типа. Например, карта Европы, необходимая для решения этой задачи, содержит как текстовую информацию (названия столиц и городов), так и графическую (границы, территории и т. д.). Вообще здесь лучше всего подойдет политическая карта Европы, но можно воспользоваться и другой, где есть границы государств, названия стран и столиц.

Ответ: истинны утверждения: А, В, С, G. Ложны утверждения: E, F, H. Утверждение D неизвестно, истинно или ложно.

Задача 53. Необязательная. Для решения этой задачи учащиеся должны просто помнить, что в русском языке кроме гласных букв (А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я) и согласных букв (Б, В, Г, Д, Ж, З, Й, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ) имеются еще знаки (Ъ и Ь).