Компьютерное дополнение к курсу Информатика 5. 2017

Урок 6. «Последовательность. Одинаковые последовательности»

Последовательность

Еще одна структура, с которой мы знакомим детей – это последовательность. Как и множество, понятие последовательности является важнейшим понятием математики и информатики, оно лежит в основании математики и является неопределяемым. Приведенные на листе определений примеры позволят ребятам выделить следующие основные отличительные особенности последовательности: последовательность – структура, состоящая из отдельных элементов, при этом эти элементы упорядочены. Это означает, что члены последовательности выстроены друг за другом – каждый элемент (кроме первого и последнего) является следующим и предыдущим для двух других элементов, первый элемент является предыдущим для одного элемента, а последний – следующим для одного элемента. Именно упорядоченностью элементов отличается последовательность от множества. Отличие последовательности от множества также и в том, что в ней могут быть несколько одинаковых элементов – если рассыпать элементы последовательности, то получится мешок, но не множество (или не всегда множество).

Кроме того, на этом листе определений мы вводим принято в информатике определение слова как любой последовательности букв. Конечно, такое определение слова отличается от того, которое принято в науках о языке. Тем не менее, в большинстве случаев мы будем анализировать слова именно как произвольные цепочки букв. Для нас важно добиться однозначных договоренностей относительно любого понятия, которое употребляется в курсе.

В обычной жизни наиболее важные последовательности – это последовательности событий или последовательности, связанные с последовательностями событий. Но в жизни и деятельности человека встречаются не только временные, но и пространственные последовательности (например, липовая аллея, дома вдоль улицы, всевозможные очереди, гирлянды и бусы).

Когда мы описываем на бумаге временнýю  последовательность событий, у нас возникает новая последовательность – последовательность глав в рассказе или последовательность отдельных предложений, отвечающих событиям. Разбиение слитной речи говорящего на слова и запись этих слов на бумаге – еще один пример перехода от временной последовательности к последовательность символов.

Важнейшим отношением между объектами, находящимися в последовательность, является их взаимное расположение. Для описания такого расположения в русском языке используются термины, связанные либо с временнóй, событийной природой важнейших последовательностей, либо с пространственной природой отдельных важных последовательностей и их моделей на бумаге.

Возникают следующие терминологические возможности:

Бусина А стоит/идёт/встречается впереди/ближе/раньше бусины Б.

Трудность с выражением впереди бусины Б (и аналогичная трудность с выражением перед бусиной Б) связана с тем, что это выражение часто используется и в смысле где-то впереди (как мы и хотим), и в смысле непосредственно, сразу перед («Кто стоит перед тобой в очереди?», «Кто впереди тебя?»). Чтобы избежать возникающей в связи с этим двусмысленности, мы предлагаем пользоваться термином раньше.

Что касается глаголов, то термины стоит, идет и встречается выглядят равнозначными. Мы будем использовать термин идет чаще других.

Обратите внимание, что мы, просматривая некоторую статическую совокупность объектов, скажем, домов на улице или букв в алфавите, говорим: «Булочная идет раньше гастронома» или «В русском алфавите буква К идет раньше буквы П».

Последовательность, как говорилось выше, определяют не только составляющие ее элементы, но и их порядок. Поэтому одинаковыми являются последовательности, в которых одни и те же элементы стоят в одном и том же порядке – на одних и тех же порядковых местах (первый, второй, третий…). Это и иллюстрируют примеры соответствующего листа определений. 

Задача 35. В этой задаче дети в первый раз самостоятельно рисуют последовательности. Образцом оформления при этом являются последовательности, нарисованные на листах определений: обязательно должны быть знаки начала и знак конца и линия, соединяющая все элементы последовательности. Впоследствии для слов и чисел возможно будет употреблять упрощенную форму записи, но на первом уроке по теме лучше все последовательности оформлять одинаково.

Как и множествам, последовательностям можно давать имена. В данной задаче это желательно, но не обязательно. А вот помечать рисунки буквами, соответствующими заданию – обязательно, иначе решение будет сложно проверять.

а) Возможных решений здесь много.

б) Задание на понимание договоренности «все разные».

в) Конечно, все последовательности длины 0 – одинаковы. Если вам интересно, понимают ли это дети, то попросите их нарисовать две разные пустые последовательности.

г) Задание на понимание договорённости «одинаковые последовательности».

д) Возможных решений здесь много.

Задача 36. Для решения этой задачи необходимо правильное понимание выражения четыре разных. Двухэлементное множество имеет всего 4 разных подмножества, поэтому в результате дети выписывают все возможные разные подмножества множества В – пустое множество, множество, равное В, и два одноэлементных множества.

Задача 37. Цель данной задачи – отработка лексики, относящейся к последовательностям (порядковые числительные, последний, предпоследний, длина последовательности). Единственная сложность – необходимость полного перебора всех последовательностей при выполнении каждого пункта задания. Если хотя бы одна последовательность, соответствующая условию, оказалась не выписана, то задание выполнено неверно, ведь оно состояло именно в том, чтобы найти все такие последовательности. Выполняя задание пункта в) нетрудно догадаться, что условию соответствуют все последовательности длины 2, так как в них первый и предпоследний элемент – это один и тот же элемент. Таким образом, множество для пункта г) вообще-то является подмножеством множества для пункта в). В данном случае эти два множества совпадают.

Ответ:

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

Задача 38. Необязательная. Эта задача, на первый взгляд, кажется совсем простой, но в ней есть тонкость, с которой вы возможно столкнетесь, проверяя решения и отвечая на вопросы детей. Эта тонкость связана с употреблением понятия «слово», отличным от того, которое принято в языке. Конечно, в большинстве случаев эти значения совпадают и не противоречат друг другу. Но есть некоторые ситуации, когда у ребенка появляется соблазн привнести в курс свои знания, полученные на уроках русского языка. Так, в русском языке различают «слово» и «словоформу». Например, к слову «слон» относятся словоформы: «слона», «слону», «слоном». У нас же в курсе слова сравниваются только как последовательности букв и больше никак. Поэтому слова «множество» и «множества» у нас просто разные слова – как говорилось выше, все тонкости определения понятия «слова», связанные с его значением, мы оставляем за пределами курса. Исходя из введенного определения разных последовательностей (в том числе и слов), на данной странице имеется только два одинаковых слова, длина которых больше 8 – два слова одинаковых. Все остальные слова, длина которых больше 8, встречаются на этой странице ровно 1 раз.

Возможно, кто-то из детей задаст вопрос, нужно ли считать словом (в рамках нашего курса) слово со знаком переноса? Да, это слово. Дело в том, что знак переноса не входит в само слово – он относится только к расположению этого слова на странице. Точно также мы бы считали последовательностью очень длинный ряд фигурок, который не уместился на одной строке, и его пришлось перенести на другую строку.

Задача 39. Задача на закрепление понятия «все разные» на материале многоугольников на сетке. Хотя о сетке в условии речь не идет, но в рамках наших договоренностей элементами курса являются именно многоугольники на сетке, поэтому ребята рисуют все фигуры, используя клетки в качестве сетки и размещая вершины многоугольников только в узлах этой сетки. Каждый из рисунков должен быть помечен соответствующей буквой и подписан.

Задача 40. В данной задаче мы повторяем одинаковость многоугольников на сетке и одинаковость множества. В данной задаче в некоторых множествах лежит треугольник и четырехугольник, а в других – треугольник и пятиугольник. Ясно, что множества этих двух групп сравнивать между собой смысла нет.

Ответ: Б = М.

Задача 41. Довольно затейливая задача, в которой дети повторяют понятие подмножество и попутно учатся строить объект по описанию, состоящему из нескольких условий. Во всех пунктах задания условия должны выполняться одновременно, это требует от ребят некоторой логической культуры. Так, выполняя задание пункта а), ребенок может провести следующие рассуждения. Множество Д должно быть подмножеством Ц, значит все элементы множества Д надо брать в множестве Ц. Также множество Д должно быть подмножеством Х, значит все элементы множества Д должны быть и в множестве Х. Значит, нам необходимо включить в множество Д только такие числа, которые есть и в множестве Ц, и в множестве Х. Перебирая все элементы множеств Ц и Х, видим, что таких чисел ровно 5. Значит, решение в данном случае единственно.

Решение пункта б) не единственно. Подойдут любые подмножества И и Т соответствующих множеств (Ц и Х) в том случае, если в множество И будет входить число 13 (которого нет в множестве Х), либо если в множество Т будет входить число 17 (которого нет в множестве Ц). В таком случае множества И и Т точно будут разными.

Решения пункта в) могут отличаться одним элементом, ведь в множество Е должны по одному разу входить все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств – Ц и Х: 13, 15, 17, 25, 35, 58, 78. Оставшийся элемент множества Е может быть любым числом (и даже не только числом).

Задача 42. Необязательная. Если у вас есть возможность провести урок (или хотя бы пол-урока), интегрированный с географией, данная задача может стать для него отправной точкой. Действительно, если предлагать эти задачи всем ребятам, а не только сильным, то вначале вспомнить вместе с ребятами, где находится Европа, и показать ее границы на большой карте на доске. Обсудите, как найти название государства, его столицу и границы. Хорошо бы напомнить ребятам, что в некоторых случаях, когда государство очень маленькое, название его помещают не на самой карте, а в сноске, а на карте оно помечено числом. Конечно, такой общеразвивающий разговор может провести и учитель информатики, но в сотрудничестве с учителем географии беседа получится более интересной.

Обратите внимание ребят, что в этой задаче равенство фигурок нужно записывать либо со словом «одинаковые», либо со знаком равенства и словом «фигурка»: «Фигурка 6 = фигурка 15», (запись 7 = 15 будет некорректной).

Ответ: одинаковые фигурки – 6 и 15. 1 – Беларусь, 2 – Болгария, 3 – Хорватия, 4 – Чехия, 5 – Эстония, 6 – Франция, 7 – Украина, 8 – Италия, 9 – Венгрия, 10 – Литва, 11 – Польша, 12 – Румыния, 13 – Словакия, 14 – Швейцария, 15 – Франция.

Задача 43. Это первая задача в курсе 5 класса, где дети работают по инструкции. Если ваши ребята изучают информатику первый год, то с ними имеет смысл поговорить об особенностях работы по инструкции. Важно понять, что инструкция – это последовательность, последовательность действий, которые необходимо выполнить. Таким образом, выполнять команды можно только друг за другом по порядку. Чаще всего результат выполнения команды зависит от того, какие команды выполнялись до этого. Так дело обстоит и в данной задаче.

В результате выполнения инструкции в данном случае ребята получат периодическую последовательность – последовательность, элементы которой повторяются с некоторым периодом. В данном случае бусины последовательности повторяются через две. Если есть возможность, можно после решения задачи немного поговорить с ребятами о периодических последовательностях, ведь они не только популярны в информатике, но и часто встречаются в жизни. Смена дней недели, времен года, месяцев – вот несколько наиболее популярных периодических процессов, которые можно описать периодическими последовательностями. Ежедневно повторяется движение поездов по расписанию, еженедельно повторяются уроки и т.д. Примеры периодических процессов и периодических последовательностей можно предложить придумать самим ребятам.

Ответ:

Задача 44. Необязательная. Задача логически сложная, поэтому советуем вам предлагать ее ребятам, которые любят порассуждать. В ходе решения составляют расписание – последовательность уроков. В задаче используется лексика, которую ребята еще не учились употреблять для последовательностей в нашем курсе, но с успехом используют в жизни (раньше, позже, второй перед и т. п.).

Для начала нужно решить, какие условия можно использовать сначала, а какие – потом. Начинать стоит с наиболее простых и явных условий. Например, сразу можно использовать то, что русский и литература должны стоять подряд. Значит, в нашей последовательности имеется такой фрагмент: «Русский язык – Литература» или «Литература – Русский язык». Теперь если применить последнее условие, то получается более длинный фрагмент: «Русский язык – Литература – Информатика» или «Литература – Русский язык – … – Информатика». Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Первый случай. Заметим, что Информатика не может стоять ни третьей (поскольку на третьем уроке нет кабинетов Информатики), ни последней (поскольку Труд должен идти позже Информатики). Значит, перед Русским языком должны стоять 1 или 2 урока. Математика не может быть предыдущей перед Русским языком (как два письменных предмета), значит, перед Русским языком стоит Физкультура. Тогда перед Физкультурой стоит Математика (она по условию раньше). У нас получается такое расписание на понедельник:

1. Математика
2. Физкультура
3. Русский язык
4. Литература
5. Информатика
6. Труд

Второй случай. Попробуем для начала определить тот урок, который стоит между Русским языком и Информатикой (в нашем фрагменте он помечен многоточием). Это не Математика, потому что Математика и Русский язык не могут идти подряд. Это не Труд, так как Труд должен идти позже Математики. Значит, это Физкультура. Получаем новый фрагмент расписания: «Литература – Русский язык – Физкультура – Информатика». Труд должен идти позже Информатики, а Математика – раньше Физкультуры. Значит, получаем следующее расписание по понедельник:

1. Математика
2. Литература
3. Русский язык
4. Физкультура
5. Информатика
6. Труд

Значит, эта задача имеет два решения. Конечно, для пятиклассника будет достаточным найти хотя бы одно решение этой задачи. Но если кто-то из сильных ребят справился с задачей быстро, можно попросить найти второе решение.