Компьютерное дополнение к курсу Информатика 5. 2017

Урок 3. «Множество»

Мы считаем, что эта тема важная не только для курса информатики и математики, но и для других школьных предметов и даже для дальнейшей жизни наших детей. Как видите, знакомство с истинными и ложными утверждениями начинается с простых и доступных примеров. Бывают ли в русском языке предложения, которые не являются утверждениями? Бывают, например: «Какая сегодня погода?» или «Приходи завтра». Это вопросительные предложения или предложения, в которых использовано повелительное наклонение. Мы, однако, не хотим сейчас фокусировать внимание ребенка на таких типах предложений.

Большинство заданий, которые выполняют дети в школе, изучая математику, языки и другие предметы, состоит в том, чтобы найти, построить объект, для которого истинно (т. е. выполняется, имеет место, верно) данное утверждение. Начиная работать с компьютером, учащиеся сразу же сталкиваются с понятием истинности утверждения при ответах на вопросы и при составлении простейших программ. Конечно, и в повседневной жизни ребенок, начав говорить, почти сразу сталкивается с понятием истинности. Его ругают, если он говорит неправду, когда он еще не вполне уяснил, что это такое.

Как одно из понятий, лежащих в основании математики, множество является неопределяемым понятием. Поэтому определение, выделенное «!», которое дети прочтут на листе определений, имеет не формальный, а скорее описательный характер. Тексты на этом листе определений должны дать учащемуся общее представление о том, что такое множество. Качественный состав элементов не имеет значения, элементы могут быть какими угодно – числа, бусины, люди, слова, смесь разных объектов и пр. В нашем курсе обычно мы будем строить множества из введенных нами элементов (фигурок, бусин, букв и пр.). Множество – структура, где элементы лежат без всякого порядка и не находятся между собой ни в каких отношениях. Любой элемент находится с любым множеством только в отношении принадлежности: либо элемент принадлежит множеству, либо – не принадлежит. Множество не содержит одинаковых элементов, все элементы в нем разные. В этом единственное отличие множества от мешка – понятия, которым дети пользовались в начальной школе. Если ваши ребята изучали курс в начальной школе, то на это обязательно следует обратить внимание.

Можно попросить детей привести различные примеры: структур, которые являются множествами, структур, которые не являются множествами. В классах, знакомых с понятием мешок, можно привести примеры структур, которые являются мешками, но не являются множествами. Так, ученики класса являются множеством, а набор имён всех детей в классе, скорее всего множеством не является – наверняка в вашем классе есть дети с одинаковыми именами. Или, например, набор букв, из которых составлено слово КОТ, является множеством, а набор букв, из которых составлено слово МАМА, множеством не является, поскольку в этом наборе есть одинаковые элементы.

Задача 17. Для большинства ребят эта задача окажется совсем простой, но в ней отрабатывается лексика, относящаяся к множествам. 

Ответ: а) цифра 6 есть в множестве Q; б) множество U – пустое; в) в множестве Z всего три элемента; г) в множестве U меньше трех элементов. 

Задача 18. В этой задаче ребятам впервые придется оформить решение в тетради полностью самостоятельно. Советуем сразу обратить внимание на правильность оформления задания. Так, к каждому подпункту задания должен быть отдельный рисунок, визуально отделимый от других. На этом рисунке обязательно должна стоять буква, соответствующая подпункту задачи. Рядом должно быть нарисовано множество и записано имя множества. Оболочку (границу) множества можно рисовать в виде овала, круга и любой гладкой, замкнутой линии без самопересечений. Имя множества нужно писать рядом с его границей, но не внутри оболочки, а вне её. Размер оболочки множества должен быть таким, чтобы в ней полностью помещались все элементы множества. Поэтому часто детям бывает удобнее сначала нарисовать все элементы, а затем проводить границу множества. 

а) Подходящих множеств Р имеется довольно много. Правильное решение будет отличаться тем, что в нем есть красная квадратная бусина, есть красная круглая бусина и нет красной треугольной бусины. При этом количество бусин других цветов (не красных) в множестве Р может быть любым. Кроме того, учащиеся могут поместить в множество Р любые другие элементы (буквы, цифры, фигурки). 

б) Здесь решение лишь одно, ведь множество всех русских букв единственно. 

в) Здесь подходящих решений 10. Это одноэлементные множества, состоящие из любой одной из 10 цифр. 

г) Здесь решение ровно одно, потому что все пустые множества одинаковы. 

Задача 19. Здесь ребята должны ответить на вопросы и самостоятельно (без образца) сформулировать свой ответ. Если кто-то из ребят затрудняется с оформлением, можно посоветовать ему вернуться к ближайшей задаче, где образец дан (задача 8). Среднему ребенку достаточно будет напомнить, что ответ всегда должен по форме соответствовать вопросу. С точки зрения логики интерес представляют два последних вопроса. Интересно, много ли ребят заметят, что после ответа на предпоследний вопрос, ответ на последний вопрос становится очевидным? Ведь если в множестве нет никаких круглых бусин, то ясно, что нет и желтых. 

Ответ: 

а) красная треугольная бусина есть в множестве Б; 

б) нет синих бусин в множестве Г; 

в) нет круглых бусин в множестве А; 

г) нет круглых желтых бусин в множестве А. 

Задача 20. Сочетание всех требований задачи даёт пустое множество. Основная трудность этой задачи понять условие и сделать правильный вывод. 

Задача 21. Это ещё одна совсем несложная задача на разрезание многоугольников на сетке. 

Задача 22. При решении этой задачи главное – не забыть, что в множестве не может быть двух одинаковых элементов. Поэтому если множество должно состоять из двух квадратных бусин, то эти бусины должны быть разными по цвету. Если – из латинских букв, то все они должны быть разными. Если все элементы – красные треугольные бусины, значит в этом множестве всего одна красная треугольная бусина. 

Задача 23. Необязательная. Эта задача продолжает серию математических задач. В данном В данном случае очень полезно представить процесс поедания плюшек в виде дискретного процесса: можно представить себе как бы отдельные кадры, снятые с промежутком в 1 минуту. На первом кадре – несколько плюшек, которые испекла Фрекен Бок, через минуту стало другое число плюшек, через 2 минуты плюшек осталось еще меньше, а через 3 минуты не осталось ничего. Восстановить эту последовательность кадров легче всего с конца, так как нам известно, сколько плюшек осталось в конце, и известно, что происходило на каждом шаге. Итак, 4 кадра: 

- за 3 минуты до конца; 

- за 2 минуты до конца; 

- за 1 минуту до конца; 

- в конце трапезы. 

В конце плюшек не осталось – на тарелке было 0 плюшек. 

За последнюю минуту Малыш съел 1 плюшку, это была половина всех плюшек, оставшихся на блюде за 1 минуту до конца. Значит, за 1 минуту до конца трапезы на тарелке было 2 плюшки. 

Перед этим Малыш также съел 1 плюшку, и осталось 2 – эти три плюшки были половиной всех плюшек, ведь вторую половину съел Карлсон. Значит, за 2 минуты до конца трапезы на тарелке оставалось 6 плюшек. 

Аналогично анализируем ситуацию за 3 минуты до конца (начало трапезы) и получаем ответ – 14 плюшек. 

Ответ: Фрекен Бок испекла 14 плюшек. 

Задача 24. Ответ: а) Y; б) G, S; в) S; г) F, Q, Y; д) Y; е) Q, Y.