Информатика. 3–4 класс (часть 3) Демо+методичка

Уроки 11–12. «Дерево игры. Исследуем позиции на дереве игры»

Урок «Дерево игры»

Дерево игры – одно из важнейших понятий нашего курса. Цепочка позиций партии – это статический, неподвижный объект, описывающий процесс проведения одной партии. Если мы хотим построить такой статический объект, описывающий процесс проведения всех возможных партий игры, то есть описывающий процесс всей игры в целом, то потребуется уже не цепочка, а дерево. Связано это, конечно, с тем, что в возникающих позициях у игроков может быть выбор – несколько возможностей для очередного хода. И дерево игры включает в себя все возможные варианты этого выбора на каждом ходу.

Умение представлять себе, а иногда и рисовать дерево возможностей и своих выборов в совместной деятельности, сотрудничестве или конфликте может пригодиться детям и в дальнейшей жизни.

Ветка из дерева игры – это, как вы понимаете, фрагмент, часть дерева игры. Важно, что ветка дерева игры имеет одну корневую вершину – какую-то позицию игры и все возможные следующие позиции после этой корневой – до конца игры (до заключительных позиций). Таким образом, ветка дерева игры – это не любая часть дерева игры, а только такая, которая включает все возможные варианты завершения игры, начиная с некоторой позиции, т. е. в ветке нет «оборванных веточек и листьев».

Решение задач из учебника

Задача 63. Очень важно, чтобы с этой задачей справились все ребята. Не жалейте на нее времени, тем более что учащиеся здесь встретятся с некоторыми новыми моментами, на которые нужно обратить внимание.

При построении дерева А ребятам придется решать две задачи – представить себе дерево А (спроектировать в уме) и разместить, нарисовать это дерево А в окне. Делать это одновременно могут далеко не все, поэтому в данной (первой после листа определения) задаче мы советуем сначала нарисовать дерево А на черновике, где можно зачеркивать и стирать, или хотя бы работать в окне карандашом. В качестве черновика лучше использовать целый лист бумаги, чтобы во время проектирования дерева А проблема нехватки места ребят не волновала.

Если вы видите, что кто-то из учеников не знает, с чего начать, можно помочь ему следующими вопросами: «Какие ходы может сделать Первый из начальной позиции?», «Какие позиции при этом могут получиться?», «Какие ходы может сделать Второй из возможных позиций второго уровня (4 и 5)?», «Какие позиции могут при этом получиться?» и т. д. Если вы видите, что учащийся не отвечает на эти вопросы, возможно, стоит вместе разобраться, как построено дерево G на с. 39. Чтобы при построении дерева не запутаться, перебирая возможные позиции, лучше располагать все вершины, следующие за некоторой вершиной, в определенном порядке, например, сверху вниз по убыванию числа камешков в позициях.

После того как дерево А построено в черновике, необходимо красиво разместить его в окне. Вертикальная разметка поможет ребятам располагать вершины каждого уровня в определенной полосе (это будет полезно в дальнейшем при ответах на вопросы). При размещении дерева в окне необходимо учитывать следующее. Во-первых, нужно иметь в виду, что, чем больше камешков в некоторой позиции, тем больше места (и по вертикали, и по горизонтали) понадобится для начинающейся в этой позиции ветки дерева. Во-вторых, проблема нехватки места для вершин одного уровня встает не на первом и втором уровнях, а позже, когда вершин становится больше. При рисовании дерева набело в рабочей тетради – стоит подсчитать, на каком уровне вершин больше всего, и начать рисовать дерево именно с этого уровня. Например, в нашем случае в дереве А такая ситуация возникает на пятом уровне, там нужно разместить 11 вершин. Поэтому лучше сразу нарисовать вершины пятого уровня, а затем пририсовать к ним все остальные. Кроме того, для экономии времени можно разрешить детям не рисовать квадратики вершин (как это сделано на листе определений), а писать только числа.

Есть и другие варианты для красивого расположения дерева в окне. Можно начать строить дерево с самого длинного пути, разместив его приблизительно по диагонали, начав примерно с середины первого уровня и закончив наверху последнего уровня. Затем следует пририсовывать к каждой из вершин нарисованного пути следующие вершины, начиная с конца. Так появляется одна (самая большая) ветка. Затем на оставшемся месте следует разместить остальные ветки.

Заканчивается решение, как обычно, проверкой. В зависимости от того, какую систему рисования выбрали для себя учащиеся, вид их деревьев может различаться. В ответе мы приводим дерево, в котором вершины упорядочены так, как мы говорили: в порядке убывания числа камешков в позициях сверху вниз.

Возможно, у вас в классе найдутся хитрые дети, которые заметят, что дерево А – это ветка из дерева G с листа определения, начинающаяся с позиции 6 второго уровня, и будут срисовывать прямо со с. 39. Это не страшно, но лучше, если такие дети оставят свое открытие при себе.

Второе задание мы предлагаем ребятам для того, чтобы они сопоставили дерево игры и процесс проведения реальных партий. Как говорилось на листе определений, дерево игры содержит все возможные партии, проводимые по данным правилам. По дереву можно получить информацию о том, кто выиграл в той или иной партии и на каком ходу. Чтобы легче было выполнять второе задание, посоветуйте ребятам над каждым уровнем (кроме первого) поставить I или II в зависимости от того, кто из игроков сделал ход, в результате которого получились позиции данного уровня. Тогда для выполнения предпоследнего задания достаточно найти любой лист, находящийся на уровне, помеченном I, и выписать путь, ведущий в него, а затем обвести этот путь в дереве. Для выполнения последнего задания нужно найти лист, находящийся на уровне, помеченном II, и поступить аналогичным образом. 

Ответ:

Задача 64. Как и задача 63, данная задача является очень важной, ведь это первое задание на построение ветки дерева игры. Для облегчения технической работы мы поместили заготовки всех необходимых полей, на которые скопированы все значки из корневой позиции. Ребятам остается только дорисовать позиции, но вначале им придется решить ряд вопросов.

Первый из них: кто должен делать ход из корневой позиции (конечно, Первый, ведь на поле крестиков и ноликов поровну)? Второй вопрос: какие ходы может сделать Первый из корневой позиции (их три, ведь на поле три пустые клетки)? Заполняем вершины второго уровня. Полезно приучать ребят при переборе возможных ходов использовать некоторую систему. Например, можно ставить крестики в пустые клетки в порядке слева направо и сверху вниз. Так, в верхней позиции второго уровня мы ставим крестик в левый верхний угол поля, в средней позиции второго уровня – в среднюю клетку среднего ряда поля, в нижней позиции – в оставшуюся клетку поля.

После заполнения позиций второго уровня ребятам нужно проверить, нет ли среди этих позиций заключительных (в данном случае их нет). Далее ребята аналогично работают с вершинами третьего уровня (среди них уже будут заключительные) и, наконец, четвертого уровня. Чтобы учащимся было легче отвечать на вопросы, можно поставить над каждым уровнем позиций значки I или II в зависимости от того, кто из игроков сделал ход, в результате которого получились данные позиции (или, что то же самое в этой игре, кто из игроков ставил значки).

Отметим, что в отличие от игры камешки мы не можем считать все листья последнего уровня (он у нас помечен значком I) позициями с выигрышем Первого, поскольку среди этих позиций могут встретиться и ничьи. Листья последнего уровня нужно тщательно проверять, хотя в данном дереве ни одна партия ничьей не заканчивается (при ответе на вопрос про число ничьих ребята должны написать ноль и в дереве никакие листья зеленым не обводить).

Если время позволяет, полезно разбиться на пары и поиграть, начиная с данной корневой позиции. Затем полезно спросить ребят, для кого из игроков данная позиция более выгодна – кто чаще выигрывает в ситуации реальной игры. В ходе соревнования ребята смогут убедиться, что чаще выигрывают нолики. Действительно, в корневой позиции у ноликов на поле имеется ситуация «вилки», когда одновременно в двух рядах (верхнем и диагональном) стоят по два нолика. Поскольку Первый при этом не может выиграть на следующем своем ходу, Второй далее будет иметь возможность поставить нолик хотя бы в один из этих рядов и выиграть. На примере этой задачи ребята могут понять, что ветка дерева игры, равно как и дерево, отражает все возможные партии (или окончания партий), в то время как некоторые окончания или партии являются более вероятными в реальной игре, в которой каждый участник стремится к выигрышу. Конечно, приведенные выше соображения о более выгодной позиции ноликов не исключают возможности выигрыша крестиков, если нолики играют плохо, невнимательно или намеренно поддаются крестикам.

Ответ:

Задача 65. Необязательная. Здесь ребятам нужно написать программу, которая приводит Робика в определенную клетку поля и при этом заставляет его обходить стены. Если вы хотите немного усложнить задание, попросите ребят написать такую программу С, которая уместится в окне. Самая короткая программа С имеет длину 18. Действительно, чтобы привести Робика из левого нижнего угла в правый верхний на том же поле без стен, потребуется самое меньшее 14 команд (ведь нужно пройти 6 клеток вверх и 8 вправо). Здесь же нам приходится как минимум в двух местах обходить стену, т. е. идти влево или вниз (а потом возвращаться). Программ С минимальной длины много, приведем одну из них.

 

Повторим еще раз, что в качестве ответа годится программа любой длины, лишь бы она приводила Робика из заданного начального положения в правый верхний угол поля и не позволяла бы ему наталкиваться на стены.

Задача 66. Необязательная. Довольно сложная задача. Здесь поможет работа с телесными объектами. После того как необходимые бусины окажутся на столе, ребята начнут строить из них различные цепочки и смотреть, что получается (используем метод проб и ошибок). В ходе работы кто-то может получить искомую цепочку, но это маловероятно.

Придется изобретать какой-то свой способ. Предлагаем здесь два способа рассуждений.

Первый способ. Рассмотрим сначала второе утверждение. В мешке ровно две квадратные бусины и ровно две красные бусины. В цепочке должны стоять две «слипшиеся» пары красная – квадратная. Есть всего два варианта таких пар:

либо

Рассмотрим первый вариант. Пара «красная треугольная – зеленая квадратная» никак в первом утверждении не участвует – она не содержит ни круглых, ни синих бусин. Рассмотрим оставшиеся бусины. Справа от второй пары должна стоять синяя бусина. Это может быть либо треугольная синяя, либо круглая синяя бусина. Поставим треугольную: 

Остались две круглые синие. Как им найти место? Одну синюю круглую можно поставить перед парой, а вторую уже поставить будет некуда. Поставим круглую синюю:

Тогда через одну после нее нужно поставить еще одну синюю – не получается, не хватает еще синих.

Рассмотрим второй вариант «спаривания» красных и квадратных. После пары «красная круглая – зеленая квадратная» нужно поставить (треугольную или круглую) синюю бусину. Поставим треугольную: 

Оставшиеся две круглые синие поставить будет некуда. Поставим круглую: 

Тогда через одну после нее должна стоять еще одна круглая. Есть два варианта следующих двух бусин: либо вторая пара, либо две оставшиеся синие:

В первом случае оставшиеся синие бусины будет некуда поставить, во втором случае, если поставить сначала треугольную, потом круглую, все получается: 

Второй способ. Систематический перебор по последней бусине цепочки Щ. Последняя бусина не может быть круглой, иначе первое утверждение не будет иметь смысла, и не может быть красной, иначе на все квадратные бусины красных просто не хватит. Поэтому на последнем месте цепочки Щ могут стоять: синяя квадратная бусина, зеленая квадратная бусина или синяя треугольная бусина. Теперь рассмотрим каждый случай.

Пусть последняя бусина цепочки – зеленая квадратная, тогда перед ней – красная треугольная (красная круглая здесь стоять не может, иначе первое утверждение потеряет смысл): 

Осталось пять бусин и пять свободных мест, снова начинаем пробовать различные варианты. При этом быстро выясняется, что круглые бусины не могут стоять на четвертом и пятом местах, иначе становится ложным первое утверждение. Значит, три круглые бусины должны стоять на первых трех местах. Но тут приходим к противоречию. Если красная бусина первая или вторая в этой тройке, то за ней обязательно должна идти квадратная (что не получается), если же красная бусина последняя, то она вторая после круглой, а вторая после круглой должна быть синей. Делаем вывод: последняя бусина цепочки Щ – не зеленая квадратная. Аналогично приходим к противоречию, если последняя бусина – синяя треугольная.

Пусть последняя бусина цепочки – синяя квадратная. Тогда перед ней стоит красная треугольная (см. выше). 

Продолжаем эксперименты. В оставшихся пяти бусинах выделяются две группы – пара красная–квадратная (круглая красная и зеленая квадратная) и остальные бусины (все они синие). Поищем место для пары. Она не может занимать четвертое и пятое места (противоречие с первым утверждением). Также эта пара не может занимать третье и четвертое место (не будет синей на втором месте после круглой, стоящей на первом или втором месте). Если поставить пару на второе и третье место, то придется на первое место поставить треугольную синюю, а круглые встанут на четвертое и пятое места – получаем противоречие, так как на шестом месте не синяя бусина. Остался последний вариант: пара стоит на первом и втором местах: 

Осталось три места и три синих бусины, но четвертой бусиной цепочки не может быть круглая, так как вторая за ней не является синей. Получаем единственную возможную цепочку:

Решение задачи предполагает большое количество сложных рассуждений. Как приведенные здесь рассуждения помогут вам при работе над этой задачей с детьми? Какие-то отдельные идеи вполне могут помочь при индивидуальной работе с учеником, который совсем запутался и не знает, что делать дальше, или начал решать, но зашел в тупик. Если вы видите, что он упорно выбирает варианты, которые заведомо не приведут к правильному ответу, порассуждайте вместе с ребенком, почему именно так быть не может. В зависимости от того, какие идеи высказывает ученик и в чем ошибается, наметьте возможные стратегии решения и понаблюдайте, что он делает дальше. Так, по принципу «горячо – холодно» вы вместе будете понемногу подбираться к искомой цепочке.

Задача 67. Повторяем понятия перед каждой бусиной/после каждой бусины. В ответе должно получиться слово КАРТОШКА.

Задача 68. Первое, что требуется в этой задаче, – это осуществить полный перебор всех возможных ходов Первого и все эти ходы (их четыре, как подсказывает картинка) изобразить. Дальше нужно посмотреть, какие из получившихся позиций заключительные. Оказывается, что заключительных позиций из этих четырех – три и во всех трех соответствующих партиях Первый проиграл. Для оставшейся четвертой позиции в соответствии с условием задачи нужно найти все возможные варианты хода Второго и нарисовать все получающиеся позиции. Когда мы это сделаем, то окажется, что во всех позициях третьего уровня Второй проиграл, так что игра закончена.

Ответ:

Задача 69. В ходе решения подобных задач устанавливается связь между веткой дерева игры и отдельными партиями игры. Для начала ребятам необходимо понять, как связано дерево Н с цепочкой Q. Должны выполняться два условия: окончание цепочки Q – это путь дерева Н и число отрезков в заключительной позиции пути дерева Н должно соответствовать заданной длине цепочки Q. Ребята к настоящему моменту должны понимать, если в цепочке 9 бусин, значит, в партии сделано 8 ходов. Теперь ясно, что заключительными позициями партий с цепочкой Q могут быть лишь листья третьего уровня дерева Н.

Урок «Исследуем позиции на дереве игры»

К настоящему моменту ребята уже знакомы с понятием «выигрышная стратегия». Они умеют находить выигрышную стратегию для игры камешки с опорой на раскрашенную числовую линейку. Однако этот способ не является универсальным – с помощью него не получается найти выигрышную стратегию во всех играх с полной информацией. Причина проста – в других играх не удается расположить все позиции на числовой линейке, да и позиции не равноценны относительно двух игроков. Чтобы проанализировать все позиции большинства игр с полной информацией, необходимо построить дерево игры. В таком дереве имеются все возможные позиции игры и начиная с листьев эти позиции можно определить как выигрышные или проигрышные (если игра не допускает ничьей) по тем же правилам, которые были описаны на с. 27 (если игра допускает ничьи, то некоторые позиции будут ничейными). Проанализировав все позиции в дереве можно найти выигрышную стратегию для одного из игроков. Часто такую стратегию нельзя описать в виде простого правила и приходится искать различные способы, как описать ее полно (для любой игры соперника), но более менее кратко. Иногда приходится описывать последовательность ходов для каждого варианта хода противника. Иногда помогают некоторые геометрические или арифметические соображения, позволяющие объединить разные позиции в группы и тем самым уменьшить описание стратегии. В примере, на с. 45 в каждом случае вариант хода Первого единственный, поэтому выигрышная стратегия формулируется достаточно просто. Вообще, в разных ситуациях проблема описания выигрышной стратегии может решаться по-разному.

В процессе поиска выигрышной стратегии по дереву возникает только одна проблема – для большинства игр полное дерево игры очень большое и построить его затруднительно. Поэтому часто дети будут анализировать только ветку из дерева игры. Иногда дерево оказывается реально «разобрать» на несколько веток, каждую из которых можно проанализировать, а затем собрать результаты воедино. Именно такой деятельностью ребятам придется заниматься в проекте «Стратегия победы». По сути данная тема готовит ребят к этому проекту.

Заметим, что даже в случае игры камешки (которую можно проанализировать с помощью числовой линейки) анализ позиций по дереву игры может быть полезен. Особенно это актуально в том случае, когда стратегия не формулируется в виде простого правила (проигрышные позиции не подчиняются строгой закономерности). В этом случае часто приходится рассматривать разные варианты ходов противника и для каждого указывать ответный ход игрока, для которого существует выигрышная стратегия. Это конечно гораздо проще сделать по дереву, где все возможные варианты ходов из каждой позиции представлены явно. Например, попробуем сформулировать выигрышную стратегию для игры, описанной на с. 44. Начальная позиция проигрышная, значит выигрышная стратегия имеется у Второго. При этом Первый может сделать любой первый ход и необходимо рассмотреть все варианты. По дереву видно, что если Первый на первом ходу возьмет 1 камешек, то Второй должен взять 4 камешка и оставить Второму проигрышную позицию 2. Дальше исход игры оказывается предопределен. Если Первый на первом ходу возьмет 3 камешка, то Второй должен взять 4 камешка и выиграть. Если Первый на первом ходу возьмет 4 камешка, то Второй может взять любое число камешков (исход игры в обоих случаях предопределен).

Решение задач из учебника

Задача 70. Построение дерева игры камешки – задание для ребят уже знакомое. Здесь интересно другое – при выполнении второго задания ребята наверняка заметят, что все проигрышные позиции находятся на уровнях с нечетными номерами, а все выигрышные – на уровнях с четными номерами (если дети не заметят это сами, попросите их пометить уровни номерами игроков, которые привели игру к этой позиции – I или II). Это означает, что Первый игрок не может выиграть в этой игре никогда. Соответственно Второй игрок может играть как угодно и выигрышная стратегия ему просто не нужна. Таким образом, Первый будет принудительно проигрывать, а Второй – принудительно выигрывать. Поэтому любая партия данной игры будет разумной. Кого-то из ребят такая ситуация может смутить, поэтому приготовьтесь ее прояснить. Если ребята решали задачу 42, возможно здесь стоит к ней вернуться.

Ответ: 

Задача 71. В этой задаче мы продолжаем готовить ребят к проекту «Стратегия победы». Для успешной работы с проектом необходимо: во-первых, уметь строить дерево игры, во-вторых, уметь это дерево анализировать. Здесь ветка дерева уже построена. Чтобы выяснить, выигрышной или проигрышной является корневая позиция, кто из игроков обладает выигрышной стратегией из нее и в чем она заключается, необходимо как обычно, проанализировать все позиции дерева, начиная с листьев. Для начала обведем все листья синим – это проигрышные позиции для игрока, чья очередь делать ход. Каждая позиция третьего уровня, которая не является листом, выигрышная, поскольку из нее можно сделать ход только в проигрышную позицию. Теперь проанализируем позиции второго уровня. Верхняя позиция проигрышная, поскольку все ходы из нее (а ход в данном случае один!) ведут в выигрышные позиции. Средняя позиция выигрышная, поскольку из нее существует ход в проигрышную позицию (в данном случае таких ходов два). Нижняя позиция также выигрышная, поскольку из нее существует ход в проигрышную позицию (вторую снизу позицию третьего уровня). Таким образом, корневая позиция выигрышная, поскольку из нее существует ход в проигрышную позицию (верхнюю позицию второго уровня). Значит выигрышную стратегию из данной позиции имеет Первый. Цепочка разумной игры из корневой позиции должна совпадать с самым верхним путем дерева L.

Задача 72. Построение дерева D – задача, знакомая ребятам, вряд ли здесь потребуется ваша помощь. Заметим, что дерево D – ветка дерева с листа определений на с. 44. Поэтому если кто-то затрудняется с построением дерева, попросите его еще раз разобраться с листом определений. Все позиции конечно будут иметь те же цвета, что и на листе определений. В результате оказывается, что начальная позиция – выигрышная, значит выигрышную стратегию имеет Первый. Он может привести игру к одной из трех позиций – 4, 2 и 1. При этом, если он хочет следовать своей выигрышной стратегии, то должен сделать ход в проигрышную позицию 2. После этого исход игры определяется однозначно и единственная разумная партия игры: 5 – 2 – 1 – 0.

Задача 73. Задача на повторение темы «Склеивание мешков цепочек», которая изучалась во второй части курса («Информатике 3 – 4»). Напомним, что при склеивании двух мешков цепочек получается мешок, который состоит из всех цепочек, получающихся при склеивании цепочек из первого мешка с цепочками из второго мешка (к каждой цепочке из первого мешка приклеивается каждая цепочка из второго мешка). В данном случае длина каждой цепочки в мешке-результате равна двум, поэтому либо все цепочки в первом и втором мешке имеют длину 1, либо в одном из мешков лежат цепочки длины 0, а во втором – длины 2. По условию в каждом из мешков есть непустая цепочка, значит второй вариант исключается. Ясно, что в первом мешке лежит цифра 2, а во втором – все цифры от 0 до 9. Только в этом случае при склеивании получается мешок М.

Задача 74. Необязательная. Ветка не нарисована полностью, а лишь «намечена»: во всех позициях, кроме корневой, нужно поставить еще крестики и нолики. Посоветуйте детям не спешить, если надо – начать строить дерево на отдельном листе бумаги (запасные поля есть на вкладыше) или работать в тетради карандашом. Затрудняющимся в решении можно задать следующие вопросы:

            1. Кто должен ходить из корневой позиции?

            2. Сколько у него есть возможных ходов?

            3. Есть ли среди этих ходов такой, который позволит выиграть сразу?

Если на все эти вопросы получены ответы, можно вернуться к тетрадям. Теперь ясно, где нужно нарисовать ход в позиции, которая является листом. Остальные три возможных хода можно произвольно распределить по оставшимся вершинам второго уровня. В заготовке дерева, которая дана в задаче, предполагается, что вершины второго и всех остальных уровней упорядочены по расположению значков сверху вниз и справа налево.

Следующие ходы крестиков также возникнут естественно. Учащиеся уже понимают, почему за корневой позицией у нас шло четыре позиции, а теперь за каждой позицией – только три. Важно сформировать здесь некоторую дисциплину работы, привычку к систематичности. В частности, полезно, как только сделан очередной выбор, т. е. дорисована позиция в одной из позиций, передать этот выбор «по цепочке», точнее, по ветке, начинающейся в данной позиции. Это потребует определенной аккуратности и сосредоточенности. Далее надо не забывать отмечать заключительные позиции – сразу рисовать стрелку и не пытаться что-то выстраивать за ними.

На вид деревья могут различаться из-за того, что учащиеся могли в разном порядке перебирать возможности, однако в математическом смысле все эти деревья одинаковые. Мы приводим один из возможных вариантов дерева Q.

Второе задание (анализ позиций) не представляет большой сложности. Проигрышными здесь будут только позиции-листья, а все остальные позиции будут выигрышными. Действительно, у каждой позиции, которая не является листом есть хотя бы один следующий лист (проигрышная позиция). Значит из каждой такой позиции есть ход в проигрышную позицию (а сама позиция является выигрышной). Корневая позиция также является выигрышной, значит выигрышная стратегия имеется у игрока, очередь которого делать ход (Второго). Вопрос об этой стратегии в задаче не приводится, поскольку ответ на него тривиален – Второй может выиграть у Первого за один ход, поставив нолик в верхний левый угол. Ответ на последний вопрос задачи также не представляет большой сложности. Чтобы построить искомую цепочку достаточно найти хотя бы один лист на пятом уровне и построить ведущий в него путь. В данном случае таких листов два и поэтому имеется две подходящие цепочки.

Компьютерный урок «Дерево игры», 1 часть, задачи 64 – 70

Задача 64. Для начала нужно выяснить, кто делает ход из заданной корневой позиции. Это Первый, поскольку на поле в корневой позиции нарисовано поровну красных и зеленых отрезков. Первый может сделать из корневой позиции 3 разных хода. Один из них сразу приведет партию к заключительной позиции. Значит, рисуем этот ход в той заготовке второго уровня, которая отмечена стрелкой. Два других хода рисуем на заготовках справа и слева и сразу же повторяем рисунки этих же ходов на следующих позициях – заготовках третьего уровня. После этого дорисовываем позиции третьего уровня – соединяем зеленым последнюю возможную пару точек. Теперь все заключительные позиции третьего уровня помечаем зелеными галочками, а заключительную позицию второго уровня – красной галочкой.

Вариант ответа:

Задача 65. Задача, аналогичная задаче 68 из учебника. В заданной коневой позиции четыре красных и три синих отрезка. Значит, из корневой позиции ход делает Второй. Из этой позиции Второй может сделать 3 разных хода. Один из них приведет партию к заключительной позиции ‒ рисуем этот ход на той заготовке второго уровня, которая отмечена стрелкой. Два других хода рисуем на заготовках справа и слева и сразу повторяем рисунки этих же ходов на следующих позициях – заготовках третьего и четвёртого уровней. После этого дорисовываем позиции третьего и четвёртого уровней: на заготовках, отмеченных стрелками, должны получиться заключительные позиции.

Заключительную позицию второго уровня помечаем красной галочкой (Второй нарисовал треугольник). На третьем уровне две заключительные позиции помечаем синей галочкой (треугольник нарисовал Первый). На четвертом уровне обе позиции помечаем красной галочкой, т. к. Второму придётся сделать последний возможный ход, после которого на позиции  получится синий треугольник.

Вариант ответа:

Задача 66. Аналогичное дерево ребята рисовали в первой части задачи 63 из учебника. Как обычно, компьютерные возможности позволяют построить дерево игры быстрее, чем на бумаге ‒ инструментально подобные компьютерные задачи гораздо проще бумажных. 

Задача 67. Позиции можно расставить в цепочке и просто формально, ориентируясь только на число звеньев ползунка: первой позицией будет та, на которой не стоит ни одного значка, на второй позиции должен быть один отрезок, на третьей – два и т. д. После того как определилась заключительная позиция, можно отвечать на вопрос задачи. В данной партии выиграл Первый.

Задача 68. Задача решается однозначно: пропущенные команды: вниз, вверх, вверх, вправо.

Задача 69. Подходящих решений здесь довольно много. На четвертом уровне дерева всего две бусины – два листа. На третьем уровне  в силу первого утверждения может быть 3 или 4 бусины, так как на каждом уровне должно быть по два листа, а также должны быть бусины, предыдущие перед листами 4 уровня. Однако на третьем уровне все бусины синие, а разных синих бусин у нас всего три: поэтому на третьем уровне будет ровно 3 разные синие бусины. На втором уровне может быть от трех (два листа и предыдущая для трех бусин третьего уровня) до пяти (два листа и три предыдущие для трех бусин третьего уровня) бусин. 

Задача 70. Подобные задачи в нашем курсе встречались уже много раз, постепенно их сложность нарастает – увеличивается количество кошельков, количество монет в них. Задачу будет проще решать, если сначала сосчитать, сколько денег должно лежать в каждом из кошельков. Для этого нужно сложить деньги во всех кошельках и разделить на 6. Получается, что в каждом кошельке должно лежать 16 рублей. Теперь задача заключается в том, чтобы построить 6 разных мешков, в каждом из которых по 16 рублей. Как и аналогичные задачи с библиотекой монет, такую задачу удобно решать перебором по монетам наибольшего достоинства (здесь – пятирублевым).

Компьютерный урок «Дерево игры», 2 часть, задачи 71 – 76

Задача 71. Отличие данной задачи от компьютерной задачи 65 в том, что позиции для построения дерева нужно выбирать из библиотеки.

Вариант решения: 

Задача 72. Как обычно, компьютерные возможности позволяют построить ветку дерева игры гораздо быстрее, чем на бумаге. Что касается содержательной стороны, данная задача имеет свои сложности. Например, в библиотеке кроме нужных для решения содержатся еще «лишние» позиции. На поле крестиков и ноликов поровну, значит, следующий ход будет делать игрок, ставящий крестики. В корневой позиции 3 пустые клетки, значит, у нее будет 3 следующие позиции – три варианта, куда можно поставить крестик. Выбираем из библиотеки подходящие позиции, размещаем их в дереве и проверяем, нет ли среди них заключительных. Одна позиция оказывается заключительной, а для остальных снова ищем следующие позиции. Так продолжаем работу, пока ветка не будет построена.

Вариант решения: 

Задача 73. 

Усложненная задача, предназначенная в основном для сильных учащихся. Данную задачу довольно сложно решать «наобум». Желательно вначале проанализировать данные позиции и сделать некоторые выводы. Рассмотрим первую позицию. На ней отмечены все ходы Первого. Их семь, значит, для того чтобы в партии выиграл Первый, Второй должен был сделать 6 ходов, а всего в игре было сделано 13 ходов. Это означает, что ползунок должен проходить ровно через 14 точек поля. Поскольку 13 точек поля уже «задеты» заданными отрезками, значит, одна из свободных угловых точек должна быть тоже «задета». К тому же надо учесть, что из одной точки выходят два красных отрезка и начинать построение партии нужно с одного из этих отрезков. После того как мы сделали такие выводы, партию достроить оказывается несложно. Аналогичные рассуждения можно провести и для второй партии: заданы 6 отрезков Второго игрока, значит, Первый нарисовал 7 отрезков, и всего в игре было сделано 13 ходов, на поле должно быть затронуто 14 точек. Таким образом, две угловые точки надо задействовать, а две оставить нетронутыми.

Вариант решения: 

Задача 74. 

Повторение темы «Все пути дерева».

Ответ:

Задача 75. Построение цепочки игры в слова. Возможно, кто-то из ребят заметит, что все слова в цепочке – названия животных и захочет принять это правило, стараясь писать в окнах тоже только названия животных. Однако это совершенно необязательно, подойдут любые слова, соответствующие правилам игры в слова.

Вариант решения: 

Задача 76. Повторение сравнения фигурок с помощью наложения.